没有铁雷造石雷

杨世进

　　已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，如果a>0，a+c<b，那么方程ax²+bx+c=0的根的情况是()

　　A.有两个不相等的实数根

　　C.没有实数根

　　B.有两个相等的实数根

　　D.必有一个根为0

　　这是今天指导学生学习一元二次方程根的判别式拓展练习中的一道题，难度系数中等以上。当这道题呈现在学生们的眼前，学生们一脸茫然，不知从何下手：因为仅仅从已知两个条件中的a>0，a+c<b，不能够直接看出它们与b²-4ac有怎样的关系！

　　学生为何茫然？为何一时找不到答案的突破口？我想这是我们施教者应该思考的。

　　在前面的学习中，学生用根的判别式解题，b²-4ac都有具体的数字，学生都能依据题目中给的具体数字依葫芦画瓢地进行代入求解。而现在，数字换成了字母，难度仅仅增加了一点，学生怎么就会不知所措呢？我想，这与学生逻辑思维的不强大很有关系，当然，传统的思维定势也像牢固的城墙一样，封锁着他们发散性思维，使之难以伸展。

　　数学证明题，考察的就是学生的逻辑思维。逻辑思维，是运用概念、判断、推理等思维类型反映事物本质与规律的认识过程。学生在过去的学段中，已经通过平行线的平行、三角形的全等等知识对推断题有了初步认识，但过去的认识，都是建立在形象思维的层面。面对形象具体的图形，学生大多都能够依据具体的定理对所给题目做出判定，所以现在面对只有几个字母构成的式子，他们一时难以找到有效的推断路径。

　　那么，该如何培养学生运用逻辑思维有理有据、条理清晰地将完成此题呢?

　　当学生们用渴求的眼神望向我的时候，我并没有急于将解题步骤公之于众，而是向他们讲述了老电影《地雷战》中的一个经典故事情节——没有铁雷造石雷！战争年代，军民抗日没有条件造铁质地雷，于是发明了令敌人闻风丧胆的石雷！一个“造”字，形象地体现了那个年代抗日军民的聪明才智！接着，我话锋一转：那么现在，在此题中我们若想知道这个一元二次方程根的情况，必须要依靠根的判别式b²-4ac，那么我们该如何利用已知条件来推导出b²-4ac呢？

　　面对引导，学生仍旧不为我动。我便调侃：如果午饭你想吃妈妈包的饺子，家里没有现成的，又不想到饭店去吃，那咋办？学生回答：咋办，包呗！看着学生思维见动，我继续说：对啊对啊，条件中没有b²-4ac，那么我们就利用所给条件造呗！

　　没有铁雷造石雷，没有b²，我们就造个b²，咋造？条件a>0能造出b²来么？不能。条件a+c<b能造出b²来么？能。怎么造？两边完全平方！

　　看到学生思维上路了，顺势我在黑板上列出式子：(a+c)²<b²，接着我又说：这就对了嘛，b²既然造出来了，那么b²-4ac的情况又如何呢？

　　面对提问，学生们又怔住了，看看黑板，又看看彼此，对我说道：老师，虽然(a+c)²<b²，可这仍旧不能得出b²-4ac的结果大小啊！

　　见学生们没有头绪，我说：你们把这个不等式的两边对调一下，看看咋样？学生们立刻欣喜地喊道：b²＞(a+c)²。那好，我们既然先前不知道b²-4ac的结果大小，那么你们比较一下这个(a+c)²-4ac，看看结果大小如何。对于这样的运算，学生们轻车熟路，一会便有了答案——结果等于(a-c)²。我看同学到了这一步，便利用完全平方的性质引导学生得出结论：(a-c)²≥0。

　　那么，既然(a+c)²-4ac=(a-c)²，而(a-c)²≥0，也就是(a+c)²-4ac≥0，那么b²-4ac呢？学生们异口同声：b²-4ac＞0。既然b²-4ac＞0，那么方程ax²+bx+c=0的根的情况呢？又是异口同声：有两个不相等的实数根！学生小郭兴奋地嘀咕了一句：这证明题还能这样做啊！我说：是啊，没有铁雷造石雷！没有b²，我们就造个b²，不能直接证明b²＞4ac，那我们就先证明(a+c)²-4ac≥0，再根据b²＞(a+c)²，结果还是能够得出b²-4ac＞0的结论。

　　看到学生们的脸上露出欣喜的笑容，我知道，这道题他们会了！但是，我并没有着急进行下一题的讲解，而是立刻要求他们从头到尾再回味一下此题的解题路数，调侃并强调：记住——没有铁雷造石雷，造是关键！遇到此类试题，要有造的精神，千万不能坐以待毙！不能直接证明b²＞4ac，我们就间接证明(a+c)²-4ac≥0，这是转化法，既是迂回，也是策略。切记，切记！

　　学会一道题不是目的，孩子们要学会的是打破思维壁垒，提高自己的逻辑思维能力，迅速掌握高效适用的解题方法。

　　下课的时间到了，我给学生们留了一道作业：xy+x+y=16，求x、y的值。

　　望着孩子们欢快离去的背影，我大声叮嘱：千万记住今天这节课学到的解题方法啊！

　　读到这里，亲爱的朋友，我想知道，电影《地雷战》中的那句经典台词——没有铁雷造石雷你可熟知？你是否对文末的这道小题也产生了兴趣？如若不弃，拿出纸笔，也来一试？相信你一定会很快给出令人满意的答案！令人满意的答案！